Určovanie plošnej výmery je základným kameňom v mnohých profesiách a každodenných situáciách. V praxi často treba určiť plochu (výmeru) pozemku alebo plochu rozličných obrazcov zobrazených na mapách, plánoch alebo výkresoch. Príklady zahŕňajú výpočet plochy priečnych rezov na určenie objemov stavebných násypov alebo výkopov, určovanie plochy povodia vodného toku, plochy zaplavenej oblasti, dobývacieho priestoru nerastu, či veľkosti staveniska.
Geodetické základy výpočtu výmery
V geodetickej praxi sa najčastejšie stretávame s určovaním výmery pozemku (parcely), ktorá tvorí základný údaj katastra nehnuteľností. V súčasnosti sa veľkosť plochy vyjadruje v sústave SI, ktorej základnou jednotkou je štvorcový meter. Pri používaní starších mapových podkladov, napr. na Slovensku v mierke 1:2 880, 1:1 440 a pod., sa však môžeme stretnúť aj so staršími plošnými jednotkami, ktorých základnou plošnou jednotkou je štvorcová siaha.
Pri určovaní výmery parcely ide väčšinou o výpočet plochy obrazca nepravidelného tvaru.
Metódy výpočtu plôch rôznych obrazcov
Keď sa plocha pozemku rozdelí na trojuholníky, ich plochu vypočítame podľa toho, ktoré prvky v trojuholníku sa merali. Podobne, ak má obrazec tvar lichobežníka, jeho plochu je možné vypočítať. Výpočet plochy z originálnych mier možno aplikovať aj pri zameraní pozemku metódou pravouhlých súradníc. V takom prípade malé kolmice rozdeľujú obrazec na kolmicové lichobežníky, kde rovnobežné strany sú kolmičky (poradnice) a výškou v je rozdiel úsečiek, čiže rozdiel staničení bodov A a B. Ak body A a B sú na rôznych stranách meračskej priamky, potom poradnice na jednej strane majú kladné a na druhej strane záporné znamienko.
Keď má obrazec tvar štvoruholníka, najprv ho na priame meranie prvkov rozdelíme na trojuholníky. Výpočet plochy štvoruholníka je potom možný. Ak polohu vrcholov pozemku 1, 2, 3, 4, 5 určujú pravouhlé súradnice xᵢ a yᵢ v existujúcej sústave, môžeme použiť Gaussove alebo ĽHuillierove vzorce. Tieto vzorce, označované ako Gaussove alebo ĽHuillierove vzorce, možno použiť pri výpočte pomocou vreckových alebo stolných počítačov a možno ich aplikovať na ľubovoľný uzavretý obrazec (mnohouholník). Dvojnásobok plôch obrazca určíme ako sumu súčinov úsečky každého vrcholu a rozdielu poradníc obidvoch susedných vrcholov obrazca, pričom rozdiel poradníc utvoríme tak, že od poradnice nasledujúceho bodu odpočítame poradnicu predchádzajúceho bodu. Analogicky možno slovne vyjadriť aj druhú rovnicu.
Výmery ľubovoľného obrazca z pravouhlých súradníc xᵢ a yᵢ jeho lomových bodov 1, 2, …, n vypočítame podľa vzorcov, kde si môžeme zvoliť ktorýkoľvek z vrcholov uvažovaného n-uholníka. Pri číslovaní lomových bodov proti smeru pohybu hodinových ručičiek vyjde plocha so záporným znamienkom. Z bodov obrazca spustíme na os +x kolmice a dostaneme súradnice yᵢ príslušného bodu. Vzorce pre pravouhlé súradnice možno použiť aj na výpočet výmery pozemku zameraného na meračskú priamku pravouhlými súradnicami, čiže staničením xᵢ a poradnicami (kolmičkami) yᵢ vzhľadom na meračskú priamku MN, ktorú považujeme za os xᵢ. Začiatok súradnicového systému je zvyčajne v začiatku staničenia 0,00 (bod M). Súradnice bodov obrazca sa obyčajne určujú na 0,01 m a vypočítavajú sa na štyri desatinné miesta.
Príklad na výpočet výmery pozemku meraného pravouhlými súradnicami na meračskú priamku je uvedený v tabuľkách.
Výpočet plochy z polárnych súradníc
Výpočet plochy obrazca z polárnych súradníc vychádza zo základného vzorca pre plochu trojuholníka. Na výpočet plochy obrazca (pozemku) z pravouhlých a polárnych súradníc sú výhodné stolové a vreckové elektronické počítače so zabudovaným programom trigonometrických funkcií. Po zameraní obrazca 1 až 5 z bodu A vzhľadom na meračskú priamku AB polárnymi súradnicami ρᵢ a sᵢ, ako aj výpočet polárnych súradníc bodov 1 až 5, nastavíme súradnice bodov do počítača.
Garmin GPSMAP 62 64 64X - Výpočet plochy
Výpočet výmery honov a rozsiahlejších plôch
Keď máme určiť pozemok s väčšou výmerou, napr. výmeru honu (časť poľa, na ktorom je zasiata jediná plodina), potom pozemok v tvare mnohouholníka zameriame tak, že meriame dĺžky strán a vnútorné uhly mnohouholníka. Výmera pozemku sa určí počítačom podľa Mascheroniho vzorca, ktorého odvodenie je uvedené v príslušnej literatúre.
Vzorec na výpočet výmery pozemku je zostavený podľa nasledujúceho pravidla. V mnohouholníku vypustíme jednu stranu, pretože na určenie plochy obrazca je nadbytočná. Zo zvyšujúcich strán utvoríme všetky možné kombinácie dvojíc strán a násobíme ich sínusom súčtu všetkých vrcholových uhlov, ktoré sú medzi nimi. Výrazom s nepárnym počtom vrcholových uhlov priradíme kladné znamienko a s párnym počtom vrcholových uhlov záporné znamienko. Vo vzorci na výpočet plochy obrazca možno uhly nahradiť aj rozdielom smerníkov z ľubovoľnej súradnicovej sústavy alebo aj rozdielov magnetických azimutov.
Grafické metódy určovania výmery
Výmery parciel alebo iných obrazcov môžeme určovať aj z mier získaných grafickým odsunutím z mapy alebo plánu. Prvky, potrebné na výpočet výmery, určíme graficky z mapy zobrazovacími (kartírovacími) trojuholníčkami, alebo pomocou zobrazovacej súpravy, napr. kartometrom, resp. poloautomatickým odčítačom súradníc. Pri grafickom odsúvaní mier zobrazovacími trojuholníčkami parcelu rozložíme na jednoduché obrazce (trojuholníky, štvorce a pod.), v ktorých odsunieme prvky potrebné na výpočet plochy.
Použitie planimetra pri výpočte výmery
Výmery pozemkov alebo iných obrazcov možno určovať aj z výkresov alebo máp zostrojených v určitej mierke použitím plochomernej pomôcky - planimetra. Planimetre sú mechanické alebo elektronické zariadenia, ktorými z máp určujeme veľkosť plôch ľubovoľného ohraničenia. Skutočná plocha sa rovná ploche na mape násobenej štvorcom mierkového čísla mapy.
Výpočet výmer z plánov resp. máp je menej presný ako výpočet plochy z pôvodných mier. Ovplyvňuje to najmä grafická presnosť výkresu alebo mapy tým, že výkresový (mapový) papier podlieha rozmerovým zmenám spôsobeným vplyvom starnutia, teploty a najmä vlhkosti papiera. Zmeny v rozmeroch papiera meriame a vyjadrujeme ako dĺžkovú alebo plošnú zrážku zvyčajne v percentách.
Planimeter tvorí sústava rovnobežných čiar, vyznačených na vhodnom priesvitnom podklade, ktorý po priložení na plochu obrazca zloženého tvaru vytvára jednoduché obrazce zvyčajne lichobežníkového tvaru. Plochu lichobežníkov získame výpočtom na základe graficky odmeranej strednej dĺžky lichobežníka. Praktickú realizáciu transparentného planimetra predstavuje Harfov planimeter, ktorý si môžeme sami zostrojiť tak, že na priesvitný papier (fóliu) narysujeme rovnobežky s určitým konštantným odstupom. Čiary môžu mať väčšie alebo menšie odstupy a možno ich striedavo narysovať rôznymi farbami. Planimeter položíme na mapu (výkres) a nasmerujeme tak, aby sa jedna z rovnobežiek dotýkala obrazca. Potom odmeriame stredné dĺžky yᵢ v obrazoch a určíme ich súčet.
Na rovnakom princípe ako harfový planimeter sa zakladá aj nitkový (Alderov) planimeter. V kovovom ráme sú rovnobežne napnuté rôzne zafarbené a s konštantným odstupom vlákna, ktorými sa meraný obrazec rozdelí na lichobežníky s rovnakou výškou Δh a rozdielnou strednou dĺžkou yᵢ. Stredné dĺžky meriame a sčítavame súčtovým kružidlom. V podstate ide o odpichovacie kružidlo, ktorého ramená možno roztvoriť iba na určitú hodnotu r (označovanú ako rozstup kružidla) tak, aby základná plôška Po = ar mala pre danú mierku plánu alebo mapy zaokrúhlenú hodnotu. Výsledkom merania plochy obrazca je n celých rozstupov kružidla r a zvyšok b, ktorý je menší ako rozstup r.
Typy planimetrov a ich presnosť
Existujú rôzne typy planimetrov, vrátane polárnych planimetrov, ktoré sú obľúbené pre svoju rýchlosť, jednoduchosť a operatívnosť. Pri určovaní malých plošných obsahov však nie sú z hľadiska presnosti najvýhodnejšie. Pri polárnych planimetroch s meracím kolieskom sa veľmi nepriaznivo na ploche obrazca prejavujú drobné nerovnosti podkladu, najmä drsnosť, ktoré spôsobujú nepravidelnosti v otáčaní kolieska. Tieto nedostatky sa pomerne málo prejavujú pri valivých planimetroch, ktoré nemajú pól a celý prístroj sa pohybuje na vrúbkovaných kotúčoch alebo meracie koliesko sa pohybuje na osobitnej doske. Sú to napríklad kolieskové a doskové planimetre.
Pri doskových (kotúčových) planimetroch sa meracie koliesko pri meraní pohybuje na osobitnej doske, ktorá tvorí súčasť planimetra. Údaje planimetrov možno automaticky registrovať a výpočty plôch obrazcov realizovať na číslicových počítačoch stolového typu.
Pri výpočte plôch sa často stretávame s pojmami ako "plošná jednotka" (zaokrúhlená), ktorá zodpovedá jednotke čítania verniera. Pri väčších plochách planimetrujeme s pólom vnútri obrazca. Konštanty pre rozličné mierky mapy určujú výrobcovia. Overujú sa tak, že najprv planimetrujeme aspoň dve porovnávacie plochy so známou presnou plochou. Pred planimetrovaním treba najprv vyhľadať vhodnú polohu planimetra vzhľadom na meraný obrazec. Presnosť planimetrovania závisí od druhu, kvality a presnosti použitého planimetra, spôsobu merania a hladkosti mapového podkladu (papiera).
Moderné metódy určovania výmery
V ostatných rokoch sa na určovanie plôch používajú aj fyzikálne spôsoby, pri ktorých namiesto mechanického princípu integrácie používajú elektrické a elektronické prístroje a zariadenia. Pri fyzikálnych metódach ide o meranie neelektrických veličín (plochy) elektrickými metódami priamo alebo sprostredkujúcou svetelnou energiou. Veľkosť plochy sa indikuje digitálne alebo na pripojenom dierovači sa vydieruje do pásky na ďalšie spracovanie.
V súčasnosti sú k dispozícii elektronické planimetrické zariadenia, napr. Coradi-Digimeter, Sokkischa KP 80 N, Planix alebo kompenzátorový elektronický planimeter Ottplan, konštruovaný pomocou mikročípovej elektroniky s bezkontaktným snímaním otáčok meracieho kolieska. Veľkosti plôch obrazcov na mape môžeme určovať aj digitalizátormi analógových podkladov s pevnými alebo pohyblivými snímačmi. Snímané súradnice lomových bodov obrazca sa indikujú na digitálnom displeji podľa vopred vložených inštrukcií. Údaj možno zaznamenať aj na vhodné registračné médium. Podľa spôsobu snímania sa rozdeľujú digitalizátory na ručné a automatické.
V posledných rokoch sa používa ako ručný digitalizátor Kartometer, určený okrem ďalších úkonov na snímanie a záznam pravouhlých súradníc bodov obrazcov z mapy. Výsledky výpočtov sa premietajú na televíznej obrazovke a uchovávajú na magnetickej páske alebo sa tlačia na pripojenej tlačiarni. Chyba v určovaní súradníc (snímaných alebo zobrazovaných) je ± 0,1 mm.
Výmera bytov: Špecifický prístup
Určovanie výmer pozemkov (obrazcov) je výsledkom meracích, výpočtových a grafických procesov. Výmery pozemkov možno určovať výpočtami z pôvodných mier, z mier získaných graficko-počitárskym spôsobom alebo planimetriou. Najpresnejšie určíme výmeru pozemku z pôvodných mier, ktoré vznikli pri meraní v teréne. Graficko-počitársky spôsob je menej presný, pretože k chybám pri meraní v teréne sa pridávajú ešte chyby vzniknuté pri vyhotovovaní mapy, chyby vzniknuté zrážaním a vlhkosťou papiera atď. Použitie a presnosť určenia výmery pozemku planimetriou závisí najmä od druhu, kvality a presnosti použitého prístroja. Pri menej presných planimetroch platia pre rozdiely medzi získanými hodnotami krajné odchýlky, ktoré určujú meračské predpisy.
V geodetickej praxi všeobecne platí, že výmery malých pozemkov (do 100 m²) určujeme z pôvodných mier alebo presnými planimetrami. Výmery honov je najvhodnejšie určovať z mier získaných priamym meraním.
Pri kúpe bytu sa kupujúci často rozhodujú najmä podľa lokality, ceny a stavu bytu. Ponuková cena bytu je buď priamo zverejnená v inzeráte alebo ju kupujúci získa od vlastníka bytu pri prvom stretnutí. Kupujúci cenu kupovaného bytu najčastejšie porovnávajú s cenami podobných bytov na internete alebo s cenou, za ktorú nedávno kúpil podobný byt ich známy. Málokedy sa však zameriavajú na podrobnejšiu analýzu jednotkovej ceny bytu zameranú na určenie reálnej ceny za 1 m² plochy bytu. Pri zvažovaní, či je ponuková kúpna cena za byt dobrá alebo nie, je dôležité si túto skutočnosť uvedomiť a zvážiť, a to nezávisle od toho, či sa kupuje byt v novostavbe alebo starší panelákový byt.
Definície plôch bytu
- „Vykurovacia plocha bytu“: Plocha tých miestností a častí bytu, v ktorých sa kúri. Nie je v nej zahrnutá plocha pivníc, balkónov, loggií a terás. Najčastejšie sa jej výmera uvádza v zálohovom predpise od správcu bytového domu.
- „Podlahová plocha bytu“ alebo „úžitková plocha bytu“: Zákonom definovaný termín a určenie jej výšky je podstatnou náležitosťou každej zmluvy o prevode vlastníckeho práva k bytu. Zároveň sa od nej odvíja aj k bytu prislúchajúci spoluvlastnícky podiel na spoločných častiach a spoločných zariadeniach domu a na pozemku. Jedná sa o súčet vykurovacej plochy bytu a plochy pivníc, ktoré sú príslušenstvom bytu. Nie je v nej zahrnutá plocha balkónov, loggií a terás patriacich k bytu. V praxi najrýchlejšie podlahovú plochu bytu zistíte z listu vlastníctva.
- „Celková plocha bytu“: V praxi sa s ňou budete stretávať najčastejšie, a to pri inzerátoch bytov publikovaných na realitných portáloch. Jedná sa o najvyšší údaj o ploche bytu, do ktorého je popri podlahovej ploche bytu zahrnutá aj plocha balkónov, loggií a terás patriacich k bytu. Niektorí vlastníci do tejto plochy zahŕňajú aj plochu predzáhradky patriacej k bytu.
Pri prvej obhliadke bytu sa odporúča zistiť všetky tri vyššie uvedené údaje o ploche bytu.
*Pozn.: V praxi sa používa aj termín „obytná plocha bytu“, v ktorej by mali byť započítané len miestnosti (izby) určené na trvalé bývanie s podlahovou plochou minimálne 8 m².
Príklad porovnania cien bytov
Ako príklad si zoberme dva 3-izbové byty v tej istej lokalite, v rovnakom stave a s rovnakou podlahovou plochou:
- Byt č. 1: Cena 70 000 €. Podlahová plocha 75 m² (vykurovacia plocha 60 m² + pivnica 15 m²), bez balkóna.
- Byt č. 2: Cena 75 000 €. Podlahová plocha 75 m² (vykurovacia plocha 72 m² + pivnica 3 m²), s balkónom s plochou 10 m².
V súčasnosti na slovenskom realitnom trhu neexistuje odborne všeobecne akceptovateľný vzorec pre výpočet ceny za 1 m² plochy bytu. Každý subjekt používa vlastné vzorce na dosiahnutie objektívne porovnateľných údajov.
Výpočet plochy na maľovanie
Pri určovaní nákladov na maľovanie je dôležité poznať plochu, ktorá sa má vymaľovať. Pri výpočte štvorcovej plochy steny musíte zmerať jej šírku a výšku, a potom tieto dve hodnoty vynásobiť (výška × šírka = m²). Pri výpočte plochy celej miestnosti, ktorú je potrebné vymaľovať, sa v praxi používa nasledujúci výpočet: rozloha miestnosti sa vynásobí číslom 3. Ak je napríklad miestnosť 4 m × 4 m, je potrebné vymaľovať 48 m². Ak je celková plocha vášho bytu 50 metrov štvorcových, plocha na vymaľovanie bude 150 m².
Najpresnejší údaj však získate, keď zmeriate každú stenu a strop alebo stropy a výsledky potom spočítate. Náklady na maľovanie ovplyvňujú aj stav stien, druh a počet vrstiev farby.
Príklad výpočtu z mierky mapy
Plán bytu je zhotovený v mierke 1 : 150. Detská izba tvaru obdĺžnika je na pláne dlhá 30 mm a široká 28 mm. V mierke 1 : 150 platí, že 1 cm na mape zodpovedá 150 cm v skutočnosti. Rozmery izby v centimetroch sú: dĺžka 30 mm = 3 cm, šírka 28 mm = 2,8 cm. Skutočné rozmery izby sú potom: dĺžka 3 cm × 150 = 450 cm = 4,5 m, šírka 2,8 cm × 150 = 420 cm = 4,2 m. Plocha obdĺžnika sa vypočíta ako súčin dĺžky a šírky: 4,5 m × 4,2 m = 18,9 m². Alternatívne môžeme najprv vypočítať plochu na pláne: 3 cm × 2,8 cm = 8,4 cm². Túto plochu potom musíme vynásobiť druhou mocninou mierkového čísla: 8,4 cm² × (150)² = 8,4 cm² × 22 500 = 189 000 cm². Prevod na metre štvorcové: 189 000 cm² / 10 000 = 18,9 m².